甲公司为一家上市公司，该公司目前的股价为20元，目前

甲公司为一家上市公司，该公司目前的股价为20元，目前市场上有该股票的交易和以该股票为标的资产的期权交易。有关资料如下：

(1)过去4年该公司没有发放股利，股票交易收益率的资料如下：

年份	连续复利收益率	年复利收益率
1	29.57%	34.40%
2	46.19%	58.71%
3	71.65%	104.74%
4	－27.05%	－23.70%

(2)甲股票的到期时间为6个月的看涨期权和看跌期权执行价格均为25元。

(3)无风险年利率为4%。

要求：

(1)计算连续复利收益率的标准差和年复利收益率的标准差;

(2)利用两期二叉树(每期3个月)模型确定看涨期权的价格(假设期权到期日之前不发放股利);

(3)某投资者采用多头对敲期权投资策略，通过计算回答到期时股票价格上升或下降幅度超过多少时投资者才获得正的收益(计算中考虑资金时间价值因素，计算看跌期权价格时，按报价利率折算)。

答案：

(1)连续复利收益率的期望值=(29.57%+46.19%+71.65%-27.05%)/4=30.09%

方差=[(29.57%-30.09%)2+(46.19%-30.09%)2+(71.65%-30.09%)2+(-27.05%-30.09%)2]/3=17.51%

连续复利收益率的标准差=(0.1751) 1/2=41.84%

年复利收益率的期望值=(34.40%+58.71%+104.74%-23.70%)/4=43.54%

方差=[(34.40%-43.54%)2+(58.71%-43.54%)2+(104.74%-43.54%)2+(-23.70%-43.54%)2]/3=28.60%

年复利收益率的标准差=(0.2860)1/2=53.48%

(2)首先，计算上行乘数和下行乘数

上行乘数u=1.2327

下行乘数d=1/1.2327=0.8112

其次，计算上行概率和下行概率

上行概率P=(1+r-d)/(u-d)=(1+1%-0.8112)/(1.2327-0.8112)=0.4716

下行概率=1-0.4716=0.5284

或根据：1%=上行概率×(1.2327-1)+(1-上行概率)×(0.8122-1)

计算得出：上行概率=0.4716

下行概率=1-0.4716=0.5284

第三，计算看涨期权价格

期数	0	1	2
时间（年）	0	0.25	0.5
股票价格	20.00	24.654	30.39
		16.224	20.00
			13.16
买入期权价格	1.18	2.5168	5.39
		0	0
			0

Cu=(5.39×0.4716+0×0.5284)/(1+1%)=2.5168(元)

Cd=(0×0.4716+0×0.5284)/(1+1%)=0(元)

C0=(2.5168×0.4716+0×0.5284)/(1+1%)=1.18(元)

(3)看跌期权价格=看涨期权价格-标的资产价格+执行价格现值=1.18-20+25/(1+2%)=5.69(元)

多头对敲组合成本=1.18+5.69=6.87(元)

对于多头对敲组合而言，只有在股价偏离执行价格的差额超过期权购买成本，投资者才能获得正的收益。在考虑资金时间价值的情况下，偏离差额需要超过6.87×(1+2%)=7.01(元)，股价上升幅度超过(25+7.01-20)/20×100%=60.05%，股价下降幅度超过[20-(25-7.01)]/20×100%=10.05%，投资者才能获得正的收益。